Twierdzenie Tichonowa

Trzy słowa o postaci

Wielki rosyjski matematyk

Topologia Tichonowa

Przypuśćmy że $\{X_i\}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych i niech $X=\prod_{i\in I} X_i$ . Rodzina złożona ze wszystkich zbiorów postaci $\bigcap_{a \in A} p_{a}^{-1}(U_a)$ , gdzie $A \subseteq I$ jest zbiorem skończonym i $U a$ jest zbiorem otwartym w $X a$ - jest topologią.

Zwartość

Zwartość Jeśli z każdego pokrycia otwartego przestrzeni Hausdorffa możemy wybrać podpokrycie skończone - mówimy, że przestrzeń jest zwarta.

Twierdzenie Tichonowa

Twierdzenie Tichonowa mówi, że iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych zwartych z topologią Tichonowa jest zwarty. Trudno o wizualizację dla przecięcia nieskończonego, tym bardziej, że w dowodzie wykorzystuje się aksjomat wyboru. Jednak dla dwu przestrzeni - twierdzenie jest bardzo intuicyjne:

Weźmy więc iloczyn kartezjański dwu przestrzeni $X \times Y$ . Wybieramy () dowolne pokrycie zielonymi zbiorami z bazy, pokrycie to w szczególności powinno być nieskończone (co ze względów technicznych należy sobie "doobraźić")

Wybieramy dowolny punkt przestrzeni $x \in X$ - wybierz więc jakiś punkt przestrzeni klikając go. Wyróżniamy wszystkie zbiory pokrycia przecinające się z $\{x\} \times Y$ niepusto - . Ze zwartości Y, która oczywiście implikuje zwartość kreski $\{x\} \times Y$ możemy z wyróżnionych zbiorów wybrać podpokrycie kreski skończone. Następnie - skoro mamy już tylko skończenie wiele zbiorów - możemy "wpisać" w nie czerwony prostokąt - .

Konstrukcję wykonujemy dla każdego x, tworząc w ten sposób pokrycie X czerwonymi prostokątami, a właściwie ich rzutami na X. Wybieramy z niego podpokrycie skończone. To już koniec, skończenie wiele prostokątów pokrywa X a każdy prostokąt pokrywany jest przez skończenie wiele szarych elementów z bazy. Zatem mamy skończone pokrycie całej przestrzeni. Raz jeszcze intuicyjnie: czerwone paski pokrywają całą przestrzeń i ze zwartości X wystarczy ich skończenie wiele. Natomiast żeby pokryć każdy czerony pasek wystarcza - dzięki zwartości Y - skończenie wiele szarych elementów z bazy. Jest więc jasne, że do pokrycia całej przestrzeni również wystarczy skończenie wiele zbiorów.

Tomasz Kołodziejski.